MathCad DOS 2.52

Table des matières

MathCad est un logiciel mathématique contenant un petit traitement de texte. Le logiciel permet

• d'évaluer des expressions mathématiques,
• de faire des graphiques,
• d'écrire du texte.

MathCad est donc un instrument idéal pour rédiger des rapports de laboratoire.

L'écran principal de MathCad est constitué d'une zone de travail et d'une zone de contrôle: La zone de contrôle se transforme successivement en ligne d'état, en ligne de menus ou en ligne de commandes. La zone de travail contient du texte, des formules et des graphiques.
Un écran d'aide est aussi disponible

1. La zone de travail peut contenir du texte, des formules ou des graphiques.

Le texte est contenu dans des "régions texte". Dans cette zone, le curseur prend la forme du symbole souligné :"_"; MathCad se comporte alors comme un traitement de texte.

Les formules et les graphiques sont contenus dans des "régions algébriques". Dans cette zone, le curseur prend la forme d'un "L" ou d'un "L" inversé; MathCad se comporte alors comme un manipulateur algébrique; ce mode est le mode par défaut de MathCad.

2. La ligne d'état prend l'apparence suivante:

Elle contient des renseignements sur le fichier ouvert, sur la position du curseur, en coordonnées "rangée, colonne" et sur le mode de calcul, "auto" ou "calc".

3. La ligne de menus prend l'apparence suivante:

Elle permet de déclencher les opérations de gestion courante: sauvegarde de fichiers, évaluation des formules, impression,...

4. La ligne de commandes prend l'apparence suivante:

Elle permet de déclencher les mêmes opérations que la ligne de menus mais plus rapidement: sauvegarde de fichiers, évaluation des formules, impression,...

5. L'écran d'aide prend l'apparence suivante:

Pour obtenir de la documentation sur un sujet donné, il suffit de peser sur la lettre correspondante.

 

 

Les options de la ligne de menus permettent de gérer le fonctionnement de MathCad. Les principales options sont les suivantes.

System

Help: autodocumentation Quit: fermeture du logiciel et retour à Dos Dos: déclenchement d'une coquille Dos; dans cette coquille, vous pouvez exécuter des commandes Dos importantes, par exemple le formatage de votre disquette: FORMAT A: <ret>; le retour à MathCad se fait par la commande EXIT <ret> Redraw permet de redessiner l'écran; cette option est utile si l'affichage devient incohérent Print permet d'imprimer le document MathCad

 

File
	Load: chargement d'un document MathCad à partir du disque dur ou de la disquette. Exemple: "File to load: a:\labo1.mcd" Save: sauvegarde du document MathCad sur le disque dur ou sur la disquette. Exemple: "Save as: a:\labo1.mcd"

N'oubliez jamais de sauvegarder votre document MathCad avant de quitter MathCad. Si vous travaillez sur une disquette, la sauvegarde doit être faite sur une disquette formatée introduite dans la lecteur A: ou B: . Le fichier porte l'extension ".mcd".

 

Compute

Calculate: évaluation des formules et production des graphiques dans les limites de l'écran Process: évaluation des formules et production des graphiques dans l'ensemble du document Automatic ou Manual. En mode "automatique", les calculs et les graphiques sont constamment mis à jour; en mode "manual", la mise à jour se fait lorsque "calculate" ou "process" est activé. La ligne d'état affiche le choix fait: "calc" pour "manual" et "auto" pour "automatic" Format: fixation du format d'affichage des nombres pour l'ensemble du document. Les options sont les mêmes que celles du menu "local" qui fixe le format d'affichage pour un élément du document Generate matrix: création d'une matrice de m rangées et n colonnes; exemple: x:<ALT M> 4 3 qui crée une matrice x de 4 rangées et 3 colonnes

 

Le mode de fonctionnement normal est le mode "manual"; ce mode laisse à l'utilisateur un maximum de flexibilité.

 

Edit

Copy: copie de la région active, c'est-à-dire celle dans laquelle le curseur est placé, dans le tampon; la région active reste sur l'écran Cut: transfert de la région active, c'est-à-dire celle dans laquelle le curseur est placé, dans le tampon; la région active disparaît de l'écran Paste: copie du tampon à la position actuelle du curseur Mark: cette option permet de rendre active un groupe de régions, au lieu d'une seule; pour ce faire, il faut marquer la région initiale et la région finale. Separate: cette option permet de séparer des régions dont l'affichage se superpose. Insertline et Deleteline: ajout ou suppression de lignes vides entre les régions déjà existantes Goto n m: déplacement rapide du curseur jusqu'à la rangée n et la colonne m; plus les petits déplacements, on utilise habituellement les flèches

 

Copy, Cut et Paste servent à mettre en page le document. Pour travailler aisément dans MathCad, il faut utiliser abondamment ces fonctions.

 

Windows
	Insert Pagebreak: insertion d'un saut de page à la position du curseur; à défaut de cette insertion, MathCad change de page à toutes les 54 lignes, en coupant, s'il le faut, des graphiques en deux!. Cette option est donc indispensable pour obtenir une impression adéquate.

Plusieurs fonctions de la ligne de menus peuvent être déclenchées par une clé de fonction ou par une commande. Voici un exemple de déclenchement d'une même fonction par plusieurs méthodes différentes.

Déclenchement de l'autodocumentation:

• par menu: <F10> pour accéder à la ligne de menus; ensuite, System Help
• par clé de fonction: <F1>
• par commande: <esc> Help <ret>

Deux clés de contrôle sont bien pratiques: <CTRL V> et <CTRL R>; la première permet de visualiser les régions; pour mettre fin à cet état, il suffit de peser de nouveau sur <CTRL V>; la seconde redessine l'écran.

Consultez l'autodocumentation pour connaître les différentes commandes et les différentes clés de fonction.

 

Un utilisateur débutant a intérêt à utiliser la ligne de menus pour gérer MathCad. La seule chose à mémoriser est la clé <F10> qui fait apparaître la ligne de menus

1. L'ordre d'exécution
2. Les régions "texte"
3. Les régions algébriques
4. La définition et l'utilisation des variables
5. L'évaluation et l'affichage des expressions
6. Les types de variables
7. Le rôle des indices: l'itération
8. Les définitions multiples

 

1- L'ordre d'exécution

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Lors de l'exécution d'un document, MathCad explore le document de haut en bas, de gauche à droite.

Si une erreur est décelée par MathCad, un message est affiché à l'écran; l'utilisateur doit alors trouver son erreur et la corriger; le message disparaît dès que l'erreur est corrigée.

2- Les régions "texte"

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Le contenu des régions "texte" est ignoré par MathCad, au sens algébrique du terme.

Si une formule est présente en région "texte", elle ne sera pas traitée algébriquement par MathCad; elle sera simplement affichée comme un texte ordinaire.

Lorsque le curseur pénètre dans une région "texte", il prend la forme du symbole souligné; à ce moment, les limites de la région "texte" sont marquées par des doubles guillemets.

Une région "texte" peut contenir des symboles quelconques, incluant les caractères ASCII au delà de 127; de cette façon, l'accentuation est possible; de même, il est possible de produire des caractères grecs. Un seul caractère joue un rôle spécial: il s'agit du symbole "\" qui doit nécessairement être doublé.

Etant donné les capacités très limitées de MathCad en tant que traitement de texte, il est préférable de morceler le texte en petites régions "texte" contenant chacune quelques lignes.

 

3- Les régions algébriques

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Le contenu des régions algébriques est traité au sens mathématique du terme; s'il s'agit de formules, elles sont évaluées; s'il s'agit de graphiques, ils sont dessinés

Lorsque le curseur est dans une région algébrique, il prend la forme d'un "L" ou d'un "L" inversé. Par défaut, toutes les régions créées sont de type algébrique; pour indiquer qu'une région est de type "texte", il faut placer le curseur à la position désirée et peser sur le double guillemet.

Ici, on trouve deux régions "texte" et trois régions algébriques. Identifiez-les.

 

4- La définition et l'utilisation des variables

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Une expression contient normalement des variables et des constantes; dans l'exemple 1, "Vol : = " est une expression définissant la variable Vol; ¶ est une constante. L'expression elle-même se divise en deux parties: la partie gauche contenant le nom d'une variable et la partie droite contenant des constantes et des variables. La syntaxe de l'expression est la suivante: partie gauche : = partie droite .

Lorsque MathCad effectue les calculs, la partie droite de l'expression est évaluée et le résultat numérique est affecté à la variable de la partie gauche de l'expression. Dans l'exemple 1, pour que la partie droite puisse être évaluée, il faut évidemment que la variable R ait reçu préalablement une valeur, ce qui est réalisé dans l'expression "R : = 4.5" qui se situe avant dans le document.

Une variable doit être définie avant son utilisation. La définition consiste à faire apparaître la variable à gauche du symbole ": = "; l'utilisation consiste à faire apparaître la variable à droite du symbole ": =" .

 

5- L'évaluation et l'affichage des expressions

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Lorsqu'une variable est définie, MathCad vérifie la syntaxe de l'expression et prend note de la définition; si la clé <F9> est activée, il évalue l'expression ; cependant aucun affichage du résultat n'est fait. Pour provoquer l'affichage, il suffit de mentionner le nom de la variable suivi du symbole = . Dans l'exemple 1, l'affichage du volume est provoqué par " Vol = "; la réponse de MathCad est "382".

L'évaluation d'une variable est déclenchée en activant la clé <F9>; pour afficher la valeur d'une variable, il faut faire apparaître le nom de la variable à gauche du symbole "=".

Note: si le logiciel est en mode automatique, l'évaluation est faite continuellement et il est inutile d'activer la clé <F9> ou les commandes "process" ou "calculate".

 

6- Les types de variables

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On classe les variables en trois types:

• les variables intervalles qui prennent un ensemble de valeurs,
• les variables scalaires,
• les variables vectorielles.

	g est une variable scalaire: g contient une seule valeur i est une variable intervalle entière; i contient 0,1 et 2; i est utilisé comme indice t est une variable intervalle réelle; t contient -4.4, -4.2, -4.0, -3.8, -3.6, -3.4 x est une variable vectorielle ou indicée; x utilise un seul indice: i; x contient 2.0, 4.0, 7.0; x0 représente la première valeur contenue dans le vecteur x, x1 la deuxième, etc
	j et k sont des variables intervalle entières; j et k sont utilisés comme indices pour la variable v; un indice commence toujours à 0 v est une variable vectorielle ou indicée; v est une matrice à deux dimensions, utilisant deux indices
	pour accéder au contenu d'une variable indicée, il suffit de donner le nom de la variable et la valeur de ses indices

Les indices sont des valeurs entières; ils commencent obligatoirement à zéro

7- Le rôle des indices: l'itération

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Si une expression mathématique contient un indice entier, l'expression est automatiquement évaluée pour toutes les valeurs de l'indice. MathCad déclenche automatiquement une boucle, c'est-à-dire, un calcul répétitif au cours duquel l'indice prend toutes ses valeurs possibles, de la plus petite à la plus grande.

La variable V est calculée itérativement: Valeur de J Expression calculée   V0 : = 3.0 0 V1 : = 3.0 + 0 1 V2 : = 3.0 + 1 2 V3 : = 4.0 + 2 La variable X est une fonction de j, l'indice.

W est une matrice à deux dimensions dont le contenu est déterminé en fonction de i et j, les indices de rangée et de colonne. L'expression définissant E constitue une erreur commune; puisqu'il y a deux indices, MathCad déclenche une double boucle.         Pour j variant de 0 à 2           Pour i variant de 0 à 2             Ej : = 2.i - 3 Le résultat final est décevant: toutes les  entrées de E contiennent la même valeur constante.

 

8- Les définitions multiples

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Si une variable est définie à plusieurs endroits, c'est toujours la dernière définition rencontrée qui est en force.

définition #1: x est une variable indicée contenant 11 valeurs définition #2: x est une variable scalaire contenant une seule valeur définition #3: x devient une fonction qui peut être évaluée pour une valeur quelconque du paramètre t.

De façon générale, il est conseillé d'éviter les redéfinitions. Ceci est facile à réaliser si les noms choisis pour les variables sont toujours des noms très significatifs: Vol pour désigner le volume, Vit pour désigner la vitesse,... Pour distinguer la vitesse de différents objets, il est possible d'utiliser des indices nominatifs; ce sont des indices sans signification mathématique pour MathCad: Vit₁, Vit₂, Vit₃; encore mieux: Vit_obj1, Vit_obj2, Vit_obj3 . Ces indices nominatifs sont produits à l'aide du point: Vit.1 ,etc .

Il faut noter que MathCad distingue les majuscules des minuscules; ainsi, v et V sont des variables différentes.

 

Deux types de fonctions sont disponibles:

• les fonctions du système, aussi appelées fonctions intrinsèques;
• les fonctions créées par l'utilisateur.

1. Les fonctions intrinsèques.

Les fonctions intrinsèques sont des fonctions prédéfinies par MathCad. L'utilisateur n'a pas à les définir avant de les utiliser. Voici quelques exemples:

• sin(x): sinus d'un angle en radians
• exp(x): exponentielle de x
• slope(t,x): pente de la droite x(t)

Consultez l'autodocumentation (<F1>) pour connaître la liste des fonctions disponibles.

2. Les fonctions de l'utilisateur.

Les fonctions de l'utilisateur doivent être définies avant leur utilisation.

• Définition.

La définition d'une fonction précise, dans sa partie droite, l'usage fait des paramètres qui sont mentionnés dans sa partie gauche; la fonction porte un nom unique

Exemple:

XMUA(X0,V0,A,T) : = X0 + V0.T + A.T²/2;

XMUA est le nom de la fonction; X0,V0,A et T sont les paramètres de la fonction. Il s'agit ici d'une équation de cinématique; l'équation détermine la position d'un objet au temps T; l'objet est soumis à une accélération constante A; sa vitesse initiale est V0 et sa position initiale est X0.

• Utilisation.

Pour utiliser une fonction, on mentionne dans la partie droite d'une expression le nom de la fonction et la valeurs de ses paramètres.

Exemple: utilisons la fonction XMUA pour calculer la position d'un objet à chaque 0,10 s pendant 1,0 s. La position initiale est 5,0 m; la vitesse initiale est 2,0 m/s et l'accélération constante est 10,0 m/s². Un graphique x=f(t) est fait. Note: pour mieux comprendre les codes MathCad, consultez la section suivante: "Les instructions MathCad et la mise en page".

MathCad	Explications et codes MathCad
	Définition de la fonction XMUA; les paramètres sont: X0,V0,A et T; on procède de la façon suivante: XMUA(X0,V0,A,T): X0+V0*T+A*T^2/2 Définition de l'indice i: i:0;10 Définition de la variable t: t[i:i/10
	Utilisation de la fonction XMUA dans le but de définir le contenu de la variable x: x[i:XMUA(5,2,10,t[i) Graphique x=f(t): @ ... Région texte pour préciser les unités: "MUA...

Habituellement, les fonctions sont définies au tout début du document; une description de la signification de la fonction et de ses paramètres doit être faite. Les paramètres de la fonctions sont représentés par des noms uniques qui servent seulement dans la partie droite de la définition et nulle part ailleurs dans le document.

 

Il existe une grande différence entre ce que l'utilisateur tape au clavier, c'est-à-dire les codes MathCad, et ce que MathCad affiche à l'écran. En fait, MathCad fait la mise en page de toutes les expressions soumises. Voici une brève description du langage MathCad.

Sujet	Au clavier	Affichage de MathCad	Commentaire
Opérateurs	- ( ) parenthèse - ^ exponentielle - / division - * multiplication - - soustraction - + addition		Les opérateurs sont classés en ordre de priorité, la parenthèse ayant la priorité maximum.
- définition - intervalle - indice - affichage	- : - , ; - [ - =		Dans l'exemple ci-contre, i prend les valeurs 0,2,4,6. La syntaxe est la suivante: variable: début,suivant;fin . En l'absence de "suivant", le pas est l'unité. Par la suite, x est défini à l'aide de cet indice et est affiché.
graphique	@		Le symbole @ fait apparaître à l'écran un canevas dans lequel il suffit d'indiquer les valeurs pertinentes: en X, on indique t en Y, on indique sin(t)
accentuation lettre grecque mode texte	- <ALT 130> pour é - <ALT P> pour ¶ - " ce qui fait apparaître " "; on écrit le texte requis entre les deux guillemets		Consultez la liste des codes pour l'accentuation et les lettres grecques
Définition du contenu d'une variable indicée à une dimension	- y[j:0,6, ...		Chaque valeur numérique est séparée par une virgule; lors de la mise en page, MathCad dessine une colonne contenant les valeurs indiquées
Définition du contenu d'une variable indicée à deux dimensions	- z:<ALT m> 3 2		Les deux chiffres après <ALT m> représentent le nombre de rangées (3) et de colonnes (2)
Formatage des nombres			On formate un nombre en plaçant le curseur sur le nombre et en pesant sur f; un menu de formatage apparaît; on fait les choix pertinents.Consultez l'autodocumentation <F1>
Formatage des graphiques			On formate un graphique en plaçant le curseur sur le graphique et en pesant sur f; un menu de formatage apparaît; on fait les choix pertinents.Consultez l'autodocumentation <F1>

La mise en page automatique n'est en force qu'en mode algébrique; en mode texte, elle est inactive. On peut cependant profiter de la mise en page lors de l'écriture d'une formule dans une texte. Voici comment il faut procéder.

• On fixe le mode de calcul à "manual".
• On écrit la formule en mode algébrique; la mise en page se fait automatiquement.
• On "désactive" l'équation par l'option "equation on/off" du menu "compute"; un petit carré apparaît à côté de la formule indiquant à MathCad de ne pas évaluer cette formule lorsque des calculs seront déclenchés.

 

Lettres grecques

 

Accentuation

Exemple.

Pour produire la lettre "é", pesez sur la clé <alt> et maintenez-la enfoncée; durant ce temps, pesez successivement sur les clés <1>, <3> et <0> du clavier numérique; relâchez la clé <alt>. Le résultat de toutes ces manoeuvres est l'apparition de la lettre "é" !

Exceptions.

• En mode texte, le caractère "\" doit obligatoirement être doublé.
• En mode algébrique, le symbole "prime" est produit par la clé "`" situé sous "~", sur le clavier anglais.

Lorsqu'une erreur se produit, MathCad affiche un message d'erreur. Souvent ce message est peu significatif et il faut rechercher soigneusement la cause de l'erreur. Quelquefois, des erreurs peuvent être présentes sans que MathCad signale leur présence; la situation est alors plus complexe.

Erreurs dans MathCad	Explications
	On est en présence d'une erreur provoquée par la position de x. Puisque MathCad explore le document de haut en bas et de gauche à droite, il exécute l'énonce "xi := " avant la définition de i. Pour solutionner le problème, il suffit de déplacer vers le bas l'énoncé "xi := ".
	On est en présence d'une division par zéro. n est un indice entier prenant les valeurs 0,1,2... La définition de k contenant l'indice n est exécutée 11 fois; dès la première exécution, n prend la valeur zéro et la division 11/0 provoque l'erreur. Pour remédier au problème, il suffit de modifier la définition de n pour exclure la valeur 0: n:1;10
	Il s'agit ici d'une erreur subtile qui n'est pas signalée par un message d'erreur de MathCad: la pente de la droite y=x+5 égale 1,0; or la fonction slope retourne la valeur 1,5. Que s'est-il passé? La réponse est la suivante. Les valeurs de x et y sont explicitement définies pour les valeurs de j allant de 1 à 4; ceci veut dire que x0 et y0 conservent leurs valeurs par défaut, c'est-à-dire 0. La fonction slope utilise les valeurs de x et y pour les valeurs d'indice allant de 0 à 4. C'est ce qui introduit l'erreur de pente. Pour solutionner le problème, il faut modifier la définition de j: j:0;4 ; tout rentrera alors dans l'ordre.
	Dans l'expression xt := t2 la partie gauche contient une erreur puisque l'indice utilisé, t en l'occurence, n'est pas un entier; t contient en effet des valeurs réelles. La solution consiste à créer un indice entier prenant 13 valeurs et à définir x à l'aide de cet indice: j:0;12 et x[j:(j/2)^2 .
	Il s'agit ici d'une erreur subtile qui n'est pas signalée par un message d'erreur de MathCad: le graphique attendu est celui de la droite s=3r+7; au lieu d'une droite, le graphique montre une forme curieuse. Premièrement, on remarque que la variable r est indicée par l'indice j1 ou par l'indice j2; ceci ne constitue par une erreur car la seule chose qui importe est la valeur numérique que prend l'indice; en d'autres termes, rj1 et rj2 désigne la même valeur si j1=j2. L'erreur qui produit le graphique incohérent est la suivante: la variable portée en X est rj1; la variable portée en Y est sj2. Puisque MathCad reconnaît deux indices différents. il déclenche une double boucle et fait un graphique avec un total de 25 points! Pour solutionner le problème, il s'agit d'utiliser un seul indice, j1 ou j2.
	Ici, l'erreur est évidente: a est une variable scalaire, c'est-à-dire contenant une seule valeur; or W est une variable vectorielle contenant 9 valeurs. Il y a incompatibilité de type. Pour corriger la situation, il faut que a devienne une variable vectorielle: a[j3:5.4+W[j3

 

 

k) Exemple #1: mouvement uniformément accéléré

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Le premier exemple est tiré de la cinématique. Il s'agit de calculer la position d'un objet qui tombe en chute libre; sa vitesse initiale est nulle et sa position initiale est 70,0 m. La hauteur y doit être calculée à chaque demie seconde, durant un intervalle de temps de 2,5 secondes.

Analyse du problème.

• La formule qui donne la position en fonction du temps est la suivante:

y = h - (a . t²)/2 ; y est la hauteur en mètres, h est la hauteur initiale en mètres, t est le temps en secondes, a est l'accélération des corps en chute libre: 9,8 m/s²

• Les étapes de résolution dans MathCad sont les suivantes:

1. définition des constantes a et h
2. définition de l'indice i contrôlant les variables t et y
3. définition de la variable indépendante t
4. définition de la variable dépendante y
5. affichage de y et production du graphique y=f(t)

 

Solution dans MathCad.	Explications
	Le texte "Exemple ..." est produit de la façon suivante: on pèse sur la clé "; on tape le texte en introduisant au besoin des <return>; pour terminer la région texte, on sort le curseur de la région texte. Deux variables scalaires, a et h, sont définies; on procède de la façon suivante: a:9.8 et h:70.0 ; les unités introduites sont des régions texte. Une variable intervalle est définie: i; cette variable prend les valeurs suivantes: 0,1,2,3,4,5 ; on procède de la façon suivante: i:0;5
	Deux variables indicées, t et y, sont définies; on procède de la façon suivante: t[i:i/2 et y[i:h-(a*t[i^2)/2 . Les unités introduites sont des régions texte.
	L'affichage du contenu de la variable y est demandée; on procède comme suit: y= ; un énoncé équivalent est y[i=
	Un texte identifie le graphique Pour produire ce graphique, il faut procéder en deux étapes. On place le curseur à l'endroit où doit apparaître le graphique et on pèse sur @; un canevas du graphique apparaît; sur l'axe horizontal, on indique la variable indépendante t[i ; sur l'axe vertical, on indique la variable dépendante y[i On place le curseur dans le graphique et on pèse sur f; ceci fait apparaître un menu de formatage; on définit 4 subdivisions en y et 6 en x; l'option "done" termine l'opération.

Il est facile de modifier les valeurs des variables. Par exemple, pour modifier les valeurs de t, il suffit de positionner le curseur sur cette variable et de définir les nouvelles valeurs; les calculs et les graphiques seront automatiquement refaits.

L'impression du travail de fait de la façon suivante: <F10> menu system, option print; on définit la région à imprimer et le périphérique de sortie, PRN habituellement.

La sauvegarde du travail se fait de la façon suivante: <F10> menu file, option save; on donne le nom du fichier au complet, par exemple a:\mua.mcd .

La récupération du fichier lors d'une prochaine séance de travail se fait de la façon suivante: <F10> menu file, option load; on donne le nom du fichier au complet, par exemple a:\mua.mcd .

 

Le deuxième exemple consiste à faire l'analyse de données expérimentales. La situation est la suivante: on a enregistré à chaque dixième de seconde la position d'un glisseur qui se déplace le long d'un rail à air incliné. A l'aide de ces données, il faut trouver la vitesse du glisseur, faire le graphique de cette vitesse en fonction du temps et déduire l'accélération du glisseur à partir du graphique.

Analyse du problème.

• A partir des tableaux de valeurs de position et de temps, il est possible de calculer deux nouveaux tableaux de valeurs: la vitesse moyenne et le temps milieu. Voici un exemple: si le glisseur occupe la position 5,0 cm au temps ,40 s et 8,0 cm au temps ,50 s, on considère que le glisseur se déplace à la vitesse moyenne 30,0 cm/s et que cette vitesse est atteinte au temps ,45 s; les calculs suivants ont été faits.

• V = (X₂ - X₁)/(t₂ - t₁) = (8,0-5,0)/(,50-,40) = 30,0 cm/s (1)

• t' = (t₂ + t₁)/2 = (,40 + ,50)/2 = ,45 s (2)

Cette méthode sera appliquée pour chaque couple de points successifs des tableaux de valeurs. Le tableau de valeurs des vitesses moyennes contiendra donc une valeur de moins que le tableau de valeurs des positions.

• A l'aide des tableaux de valeurs V et t', un graphique V = f(t') est fait. Le graphique donne normalement une droite. La pente de cette droite est l'accélération du glisseur; l'ordonnée à l'origine du graphique est la vitesse initiale; le coefficient de corrélation du graphique permet de juger de la qualité de la droite: si le coefficient est très près de 1,0 , ceci indique une droite parfaite.

• Les étapes de résolution dans MathCad sont les suivantes:

  1. définition de N, le nombre de points expérimentaux
  2. définition de l'indice i pour les tableaux de données x et t
  3. définition du tableau t_i: calcul à l'aide de l'indice
  4. définition du tableau x_i: énumération
  5. graphique x = f(t)
  6. définition de l'indice j pour les tableaux v et t'; une valeur de moins que i
  7. définition du tableau v_j: calcul itératif à l'aide de la formule (1)
  8. définition du tableau t'_j: calcul itératif à l'aide de la formule (2)
  9. graphique v = f(t')
  10. calcul de la pente, de la vitesse initiale et du coefficient de corrélation

 

Solution dans MathCad	Explications
	Le texte "Exemple ..." est produit de la façon suivante: on pèse sur la clé "; on tape le texte en introduisant au besoin des <return>; pour terminer la région texte, on sort le curseur de la région texte. Une variable scalaire N est définie: on procède de la façon suivante: N:5 Une variable intervalle est définie: i; cette variable prend les valeurs suivantes: 0,1,2,3,4 ; on procède de la façon suivante: i:0;(N-1)
	La variable vectorielle t est définie à l'aide d'une formule simple, on procède comme suit: t[i:i/10; t contient donc 0,0.1,0.2,0.3,0.4 . La variable vectorielle x est définie par une énumération; on procède comme suit: x[i:0,4.2,9.2,15.5,22.6 Les unités introduites sont des régions texte.
	On affiche le contenu de t et x: t[i= , x[i=
	Pour produire ce graphique, il faut procéder en deux étapes. On place le curseur à l'endroit où doit apparaître le graphique et on pèse sur @; un canevas du graphique apparaît; sur l'axe horizontal, on indique la variable indépendante t[i ; sur l'axe vertical, on indique la variable dépendante x[i On place le curseur dans le graphique et on pèse sur f; ceci fait apparaître un menu de formatage; on définit 5 subdivisions en y et 5 en x; l'option "done" termine l'opération.
	Une variable intervalle est définie: i; cette variable prend les valeurs suivantes: 0,1,2,3 ; on procède de la façon suivante: j:0;(N-2) . On remarque que cet indice prend une valeur de moins que l'indice i.
	La première expression de gauche permet de définir itérativement la valeur de la vitesse moyenne v. Pour comprendre comment fonctionne cette formule, il s'agit de procéder à son évaluation comme le fait MathCad. Puisque la formule contient un indice, MathCad déclenche une boucle: j doit prendre successivement les valeurs 0,1,2 et 3. Pour j = 0, la formule est: v0:=(x1-x0)/(t1-t0) Pour j = 1, la formule est: v1:=(x2-x1)/(t2-t1), etc Voici comment est produite cette formule: v[j:(x[(j+1)-x[j)/(t[(j+1)-t[j) La deuxième expression de gauche permet de définir itérativement la valeur du temps milieu t'. Pour comprendre cette formule, on procède comme dans le cas de la première expression: Pour j = 0, la formule devient: t'0:=(t1+t0)/2 , etc Voici comment est produite cette formule: t'[j:(t[(j+1)+t[j)/2
	On affiche le contenu de t et x: t'[j= , v[j=
	Pour produire ce graphique, il faut procéder en deux étapes. On place le curseur à l'endroit où doit apparaître le graphique et on pèse sur @; un canevas du graphique apparaît; sur l'axe horizontal, on indique la variable indépendante t'[j ; sur l'axe vertical, on indique la variable dépendante v[j On place le curseur dans le graphique et on pèse sur f; ceci fait apparaître un menu de formatage; on définit 5 subdivisions en y et 5 en x; on choisit l'affichage par point (trace x); consultez l'autodocumentation; l'option "done" termine l'opération.
	On calcule la pente, le coefficient de corrélation et l'ordonnée à l'origine en faisant appel à des fonctions prédéfinies par MathCad: slope, corr et intercept; l'ordre des variables est très important m:slope(t',v) ,etc
	On affiche le contenu de m, Þ et v0: m= , Þ= , v0= Les unités sont définies en tant que région texte.

Le troisième exemple consiste à faire le graphique de la fonction y = 2.0 sin(¶.x) e^(-x/2) sur l'intervalle [0,5], en faisant environ 100 évaluations de la fonction.

Analyse du problème.

Deux méthodes sont possibles.

• La première méthode consiste à évaluer directement la fonction y en utilisant une variable intervalle réelle x. Cette méthode est rapide mais a l'inconvénient suivant: les valeurs contenues dans x et y ne sont pas individuellement accessibles pour des calculs ultérieurs.

• La deuxième méthode consiste à évaluer la variable y' à l'aide de la fonction y et de la variable indicée x'. Cette méthode comporte des étapes supplémentaires mais possède un avantage majeur: les valeurs contenues dans x' et y' sont individuellement accessibles pour des calculs ultérieurs.

• Les étapes de résolutions dans MathCad sont les suivantes.

1. définition de la fonction y = f(X)
2. méthode 1: définition de la variable intervalle réelle x1
3. méthode 1: graphique y = f(x1)
4. méthode 2: définition de l'indice i, de 0 à 100
5. méthode 2: définition de la variable réelle x2
6. méthode 2: définition de la variable réelle y2
7. méthode 2: graphique y2 = f(x2)

Solution dans MathCad	Explications
	Le texte "Exemple ..." est produit de la façon suivante: on pèse sur la clé "; on tape le texte en introduisant au besoin des <return>; pour terminer la région texte, on sort le curseur de la région texte. La fonction y est définie par l'énoncé de gauche; son seul paramètre est X; notons que le nom X n'est utilisé nulle part ailleurs dans le document; y(X):2.0*sin(<alt p>*X)*exp(-X/2)
	"Méthode 1"est une région texte; on procède comme précédemment. La variable intervalle x1 est définie; on procède de la façon suivante: x1:0.0,.05;5 ; cette variable contient 101 valeurs, de 0 à 5,0 On place le curseur à l'endroit où doit apparaître le graphique et on pèse sur @; un canevas du graphique apparaît; sur l'axe horizontal, on indique la variable intervalle x1; sur l'axe vertical, on indique le nom de la fonction y évaluée aux valeurs contenues dans x1 et on supperpose une deuxième courbe qui représente la position de l'axe horizontal: y(x1),0
	"Méthode 2"est une région texte; on procède comme précédemment. On définit une variable indicée i; elle prend 101 valeurs: i:0;100 On définit une variable vectorielle réelle x2; elle prend 101 valeur, de 0 à 5,0: x2[i:i/20 On définit une variable vectorielle réelle y2; elle utilise la fonction y(X) qui est évaluée aux valeurs contenues dans x2 ; y2 contient 101 valeurs
	On place le curseur à l'endroit où doit apparaître le graphique et on pèse sur @; un canevas du graphique apparaît; sur l'axe horizontal, on indique la variable intervalle x2[i; sur l'axe vertical, on indique le nom de la variable y2 et on supperpose une deuxième courbe qui représente la position de l'axe horizontal: y2[i,0